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曾经有个笑话，中国小学生可以熟练的告诉你3+4=7，法国小学生虽然不知道3+4=几，但是却会告诉你3+4=4+3，这是因为整数（原始笑话是自然数）集合在加法运算下构成阿贝尔群。
这个笑话至少说明了一点，就是中国人和西方人对于数学的理解是不同的，中国人是从算术的角度去理解数学的，强调计算，所以中国数学基础教育目标是培养做题家，而欧美不太强调具体计算，而是更多的强调形式逻辑，即学科公理系统的完备性以及从公理到定理及其他结论逻辑推理的严密性。
这个从圆周率的历史可见一般。圆周率全球许多国家发现了，中国人发现圆周率以后一直做的工作是计算圆周率的具体数值，而欧洲一直做的工作是证明圆周率是无理数。开方运算会得到无理数，这个在古希腊就得到证明，《几何原本》中就有证明方法，圆周率这样的超越数是无理数亚里士多德就认识到了，但是无法证明，所以说是猜想，这个证明花了2000多年时间，直到欧拉时代才得到证明。所以我们说祖冲之计算的圆周率数值之所以领先世界，是由于欧洲的数学家把更多的时间花在了证明圆周率是无理数之上，而对于具体圆周率数值则关心相对较少。这就是东方和西方对于数学的理解不同。东方理解的“数学”是数之学，即算术，西方理解的“数学”是mathematics。这是不同的。
这里还有一个例子，撒贝宁和华人数学一哥丘成桐做节目，其间问了丘成桐一道算术题（关于加减乘除的），丘想了一会，坦诚的说“我们数学家对加减乘除都不太懂的。”
这些例子都说明了一个问-mathematics和算术其实是不同的。
其实从英文mathematics翻译为数学也就可知中国人和西方人对于“数学”理解的差异。数学顾名思义是，数之学，而mathematics在欧洲语言中，并没有数之学即算术的含义在里面。
mathematics: Etymologically, mathematics means ‘something learned’. Its ultimate source was the Greek verb manthánein ‘learn’, which came from the same Indo- European base (*men-, *mon-, *mn- ‘think’) as produced English memory and mind. Its stem form math- served as a basis of a noun máthēma ‘science’, whose derived adjective mathēmatikós passed via Latin mathēmaticus and Old French mathematique into English as mathematic, now superseded by the contemporary mathematical [16]. Mathematics probably comes from French les mathématiques, a rendering of the Latin plural noun mathēmatica.
这段英文表明了mathematics，源自古希腊语的“学习”的意思，而从词根上来说，这个词在印欧语系的谱系中有记忆和思想的意思，或者说是学问的基础。因此mathematics翻译为数学，体现了中国人对于“数学”的理解（就是数之学，算术），但是mathematics远远不止数学意思，因为他更多的是指思想，就是形式化的思想，因而mathematics是学问的基础。而数学在中国人的语境下更多的是记忆，就像小学时候熟记九九乘法表就能做计算了，到了高中大多数老师还在让学生背数学公式，数学定理以方便解题。中国传统文化中数学或者说算术是冷门学科，中国传统的显学是诗书礼乐易春秋，远远比不上mathematics在欧洲是学问之基础的显学地位。数学今日在中国有如此的地位，是清末及以后西学东渐的影响。
从数学发展史来说，虽然世界上各个民族都发展出相似的加减乘除运算，同时发展出相似的朴素几何学观念，但是运用抽象的思维方法，从具体的众多的感性杂多中提取出共同的、本质性的特征，并加以综合统一，提炼出具有一般意义的思维对象即概念，并以此为基础形成完备的公理系统，并用演绎推理方法从公理出发构建具有必然性的数学体系的，只有古希腊一家，也只有古希腊一家把数学理解为mathematics（即学问之基础），代表作就是《几何原本》。（所以陈省身去世前心心念念想回mathematics的故乡，古希腊）
代数学我们知道是阿拉伯人首先发展起来的，但是把代数学一般化，抽象化的工作是由西方人完成的，代数学的符号体系也是由西方人用拉丁字母引入的。随后代数学的发展就走向了《几何原本》曾经走过的路线，就是公理化的路线，特别是到了抽象代数学时代，西方的数学家们研究了各种形式的代数现象，从中抽象出具有普遍意义的代数结构，比如群环模域线性空间，李代数等等，并用形式逻辑的方法，构造了近现代的代数学的体系。
所以说，如果把“数学”理解为算术即calculation，那么全球各民族历史上都自发的形成过算术和算术理论，在这方面大家都差不多，可能在算术，计算，做题领域亚裔比西方更强一些。特别是国内基础教育以应试教育为主，学生普遍连课本都不怎么用，主要时间花在总结答题技巧的习题书和参考书上，通过高强度的解题训练应付高考，所以论解题能力，运算能力，特别是应付偏题能力，中国学生比西方学生还是强一些的。
但是如果我们说的数学是特指mathematics，即用公理化方法，采用形式逻辑构建的体系，那么在历史上只有古希腊一家。从数学发展史来说，也只有西方（欧洲）继承并发扬了古希腊这样一种数学的路线，并去研究和构造数学，从而形成了近现代数学的体系，那么在这样的mathematics领域，亚裔特别是我们还远不如欧美是符合事实的。特别是在逻辑证明方面，在数学体系和数学理论构建和创造方面，我国数学家和欧美数学家差距非常大。
这个从近现代mathematics发展以来，欧美数学家的强势地位可见一斑。我们很少能从数学课本上发现以中国人名字命名的定理以及概念，偶有几个比如chern class等，但是非常稀少。同时大多数的猜想都是欧美数学家证明的。
这也从菲尔兹奖领域欧美数学家的强势地位也可见一般。到目前为止，菲尔兹奖中国一个都没有，华裔也就2人，日本菲尔兹奖有3个，绝大多数菲尔兹奖被欧美包揽。
华裔两位菲尔兹奖获得者，丘成桐是在香港接受数学基础教育，陶哲轩是在澳大利亚接受的数学基础教育。
在阿贝尔奖和沃尔夫奖领域，我们本土数学家也一个都没有获得过。
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更新一：看了评论区，感觉许多网民还不知道逻辑是指什么。我这里说的逻辑指形式逻辑，而不是网民中口语说的逻辑。数学采用形式逻辑，首先第一步就是抽象和提炼出这个学科最基本的概念，由于现在一般对于概念的定义是公理化定义，所以给出概念的同时也就给出了公理。对于一个学科，公理系统需要有完备性，就是说公理系统多一个，少一个都不行。一个学科，除了公理不需要证明，公理以外的东西统统需要从公理出发推导证明出来，证明过程遵从亚里士多德的三段论，从而形成整个完整的学科体系。这个过程的逻辑就叫形式逻辑。
然后我们以这个形式逻辑为标准，回头看中小学乃至大学的数学课本符合形式逻辑吗？显然不符合，比如说中学学平面几何，就是欧几里得几何学，公理系统给全了吗？公理到定理的证明有吗？即使有，证明完整吗？显然这些都是没有的。甚至到大学，画个表，两个竖线，说这叫行列式，这能是定义吗？所谓定义亚里士多德的形式逻辑学说的很清楚，就是属加种差，画个图说这是什么什么，这个不叫定义。
其实，在中小学，甚至大学，许多人学习数学基本上是不怎么用课本的。为什么？因为用课本考试考不好啊。所以大家用的更多的是参考书和参考书的习题，然后应付考试。考试考的学，不考的不学。我们说我们的教科书逻辑已经不怎么严密了，但是好歹也是专家反复论证过的，而那些参考书的逻辑完全就是拉胯了，但是这些参考书研究了各种类型的题目，总结了出题规律和答题技巧，用来应付考试确实好使。比如说高中什么五三。所以我说我们的数学基础教育不注重逻辑，目标是培养做题家。
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更新二：看见评论区有人讨论到了语言和逻辑的关系，我也来论一论。
形式逻辑第一个法则，就是同一律，同一律要求论证过程中概念表达的意义不能变化，如果一个语言表达的意义会随着语境的变化而变化，那么就不符合同一律。一个语言其表意要不随语境变化，就需要通过语言本身形式上的变化来固定其意义，比如说印欧语系有形数格的变化，有时态有语态，也有从句。就更加容易确保其表意上的一义性，汉语由于缺乏语言形式变化，理解意义更多借助语境，其在逻辑运用上就会出现许多漏洞。
举个汉语的例子，白马非马。这个非，在公孙龙这里就是“不是”的意思，白马确实不是马、公孙龙没有错。但是在看门的那里，非是不属于的意思，白马不属于马，那就有问题了。因为非这个词，不能区分“不是”和“不属于”两个语义，在两个人之间造成歧义，逻辑上违反了同一律，也就让白马非马成为所谓诡辩。
再举个德语的例子，我不爱你。
ich liebe nicht dich
ich liebe dich nicht
翻译为汉语，第一句我爱的不是你，否定的是你，第二句很难翻译为汉语，nicht就是不，放在句尾，否定的是“我爱你”全句。通过两种语言上的形式变化区分两种不同的“我不爱你”的意义，这就是德语，所以我们说德语是严谨的就在这里。
一种语言，其表意越依赖语境，其越不适合逻辑表达，一种语言的表意越不依赖语境，就越适合逻辑，最适合逻辑表达的语言是形式语言，完全形式化，不依赖任何语境。
当然反过来说，一种语言表意越依赖语境，就越适合文学表达，汉语是理想的文学语言。但是在数学，科学等需要逻辑的领域，汉语就比较吃力了。
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更新三：看评论区，其实涉及一个问题，就是我们学习数学，到底要不要做习题。事实上，除了掌握数学的逻辑，课后的习题肯定还是要做的，但是也就是仅仅课本上的习题做完，也就可以达到巩固知识的目的了。一般优秀的课本，其习题都是作者精选的，同时与课本的知识也是相协调的。因此我们做题有一个原则，就是在精不在多。
但是在我们国家的中小学，你做课本上的习题，肯定是应付不了考试的。这是为什么？这是因为我们国家，是通过解题来选拔考生升学的。1978年以后，高考中考考了40多年，但是考的知识还是这些内容，能出的题目早就出遍了。那么命题者只能挖空心思不断的变换出新的题目，以拉开学生的差距，导致题目越来越难，也越来越偏，越来越怪。最后的结果就是没有多少学生和老师使用课本，而是使用各种习题集和习题研究，完全背离了做一些精选的题目巩固知识的初衷。而这样的结果就是培养了一大批的做题家，离注重体系化逻辑的mathematics越来越远。
所以我们在回到最初的问题，亚裔特别是中国和欧美数学水平谁高谁低，那么从做题家的角度，中国学生肯定普遍比欧美学生强，哪怕高考中被淘汰的学生也比欧美大学生强。因为欧美大学生做的习题也就是我们课后习题的程度，而我们的学生可以说是在大量的习题包括怪题偏题中身经百战。不说欧美，其实即使是国内，诸如山东、河北的学生，做题能力和计算能力也远胜上海、北京的学生。（当然在科研领域，上海、北京学生优势就特别明显了）。
但是回头说，在mathematics领域，应试教育的模式让学生是离体系化的数学和形式逻辑越来越远，离创造力越来越远，所以许多留欧留美的学生会发现，虽然在计算能力，在做题能力上，他们超过了大部分欧美学生，但是在欧美学生里面总是存在有许多人，他们在mathematics领域，在思维和逻辑上，在体系搭建能力上，在证明猜想能力上，是你再怎么努力也赶不上的。
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更新四：不知道理工的学生有没有发现一个问题。就是我们国内的课本编写大多数遵循一种归纳法，而不是形式逻辑。就以线性代数为例，先讲行列式计算，再讲矩阵计算，再讲线性表达和线性方程组，然后讲特征值特征向量，最后讲线性空间。一步步由具体到一般，由形象到抽象。但是这样编写缺点非常明显，就是矩阵和行列式定义非常不严格，逻辑非常不严密。其实逻辑学只有演绎逻辑，没有归纳逻辑，因为不可能穷举所有的情况。
而国外许多课本的编写是倒过来的，就说线性代数，是先说线性空间的公理化定义。线性空间是装备在域上的，其公理化定义，就是线性空间首先是一个阿贝尔加法群，然后定义其与域上的数乘运算满足四条公理，这样线性空间的定义就完美的给出来了，然后再公理化定义线性映射，并定义映射的乘法。然后通过线性映射和矩阵一一对应引出矩阵，而矩阵的乘法和线性映射的乘法也是对应的，最后给出行列式的公理化定义，行列式就是一个映射，从矩阵到R的映射，并满足几条公理，比如加法，反交换，单位元。
国外课本的这种编写方式就是典型的形式逻辑的编写方式，特点就是从公理出发，由抽象到具体，由普遍到一般，逻辑非常严密。思路非常清晰，当然还有一个优点就是我们会发现所谓无穷级数就是由函数组成的线性空间，这样的函数也是矢量，同时求导和求微分也是线性映射，同样我们可以通过线性映射构造线性空间，那么同样可以通过求导和求微分运算构造两种线性空间，这样就把线性代数和分析学统一起来了。
那么我们国内课本普遍使用归纳法编排，是不是也是体现了我们更加擅长计算，而不擅长形式逻辑呢？
作者：雅沁
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发表于 2022-6-19 09:06:05
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